最小生成树

Prim算法（用于稀疏图）：

时间复杂度O(n^2+m)

朴素版prim算法,一般应用于稀疏图,形式上和dijkstra算法很相似。
初始化d数组，将1节点加入到最小生成树节点集合中。
迭代n-1次，每次在S中寻找到T集合的最短距离，用这个节点更新其他非最小生成树节点。

// 设最小生成树节点集合为T，其他节点集合为S，vis数组用来标记该节点时候在T集合中
// d数组保存的是每个点到T的最短距离

int Prim(){
    int res = 0;
    memset(dis,0x3f,sizeof dis);
    dis[1] = 0;
    
    for(int i = 0;i < n; i++){
        int t = -1;
        for(int j = 1; j <= n; j++){
            if(!vis[j] && (t==-1|| dis[j] < dis[t])) t = j;
        }
        
        if(dis[t] == INF) return INF; 
        
        res += dis[t];
        vis[t] = true;
        
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            if(!vis[i]) dis[i] = min(dis[i],g[t][i]);
        }
    }
    return res;
}

Prim算法求最小生成树

给定一个 n个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤500
1≤m≤1e5,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000。

输入样例：

输出样例：

代码

个人代码

/*
	分析数据 该数据明显属于稠密图，则不必用链表存储，
	Prime的核心思想找点 我们现在有一个树我们不断王里添加点 而添加什么点 当然是距离这个树最近的点，我们利用一个数据记录所有点到达这个数的距离，先将任一点作为数的根，然后刷新各个点到树的距离，如果他被刷新了那么这个点就可以作为字节点出现，当我们在寻找一个最小点时如果发现这个点的距离是max则证明这个数不连通。

*/

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N  = 510;
int g[N][N];
int dis[N],st[N];
int n;
void Prime() {
	int res = 0;
	dis[1] = 0;
	for(int i=0;i<n;i++){
		int t = -1;
        // 寻找距离最短点
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if (!st[j] && (t == -1 || dis[t] > dis[j])) {
				t = j;
			}
		}
		
        // 标记这个点在树内部
		st[t] = 1;
        // 如果这个点不可达则认为树不连通
		if (dis[t] == 0x3f3f3f3f) {
			cout<<"impossible"<<endl;
			return;
		}
        // 增加书的权值
		res += dis[t];
		
        // 刷新到达树的距离
		for(int j=1;j<=n;j++){
			dis[j] = min(dis[j], g[t][j]);
		}
		
	}
	cout<<res<<endl;
	return;
}
int main() {
	memset(dis, 0x3f,sizeof dis);
	memset(g,0x3f,sizeof g);
	int m;cin>>n>>m;
	while(m--){
		int a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		g[a][b] = min(g[a][b], c);
		g[b][a] = min(g[b][a], c);	
	}
	Prime();
}
/*
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

*/

板子

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];


int prim()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;

        // 用于阻断初始点将初始点即为0，
        if (i && dist[t] == INF) return INF;

        if (i) res += dist[t];
        st[t] = true;

        for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
    }

    return res;
}


int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(g, 0x3f, sizeof g);

    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
    }

    int t = prim();

    if (t == INF) puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);

    return 0;
}

Kruskal算法(用于稠密图)：

时间复杂度O(mlogm)

int n, m;       // n是点数，m是边数
int p[N];       // 并查集的父节点数组

struct Edge     // 存储边
{
    int a, b, w;

    bool operator< (const Edge &W)const
    {
        return w < W.w;
    }
}edges[M];

int find(int x)     // 并查集核心操作
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal()
{
    sort(edges, edges + m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;    // 初始化并查集

    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;

        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)     // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++ ;
        }
    }

    if (cnt < n - 1) return INF;
    return res;
}

Kruskal算法求最小生成树

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。