二分图

设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。

二分图重要性质：没有奇数环

染色法求二分图：

时间复杂度：O(n+m)

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int n;      // n表示点数
int h[N], e[M], ne[M], idx;     // 邻接表存储图
int color[N];       // 表示每个点的颜色，-1表示未染色，0表示白色，1表示黑色

// 参数：u表示当前节点，c表示当前点的颜色
bool dfs(int u, int c)
{
    color[u] = c;
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (color[j] == -1)
        {
            if (!dfs(j, !c)) return false;
        }
        else if (color[j] == c) return false;
    }

    return true;
}

bool check()
{
    memset(color, -1, sizeof color);
    bool flag = true;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (color[i] == -1)
            if (!dfs(i, 0))
            {
                flag = false;
                break;
            }
    return flag;
}

染色法判定二分图

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环。

请你判断这个图是否是二分图。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示点 u 和点 v 之间存在一条边。

输出格式

如果给定图是二分图，则输出 Yes，否则输出 No。

数据范围

1≤n,m≤1e5

输入样例：
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输出样例：
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Yes
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/*
	小叛逆，用了广搜，本质上是拴住一个点找别的点
*/

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N  = 200100;
int e[N], ne[N], f[N], idx = 0;
int color[N], n, m;
void add(int a, int b) {
	e[++idx] = b;
	ne[idx] = f[a];
	f[a] = idx;
}
int main() {
	cin >> n >> m;
	while (m--) {
		int a, b;
		cin >> a >> b;
		add(a, b);
		add(b, a);
	}
//	0 未染色 1 -1 对应颜色
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (!color[i]) {//未染色
			queue<int>q;
			color[i] = 1;
			q.push(i);
			while (!q.empty()) {
				int front  = q.front();
				q.pop();

				for (int j = f[front]; j; j = ne[j]) {
					if (color[e[j]] == color[front]) {
						cout << "No" << endl;
						return 0;
					} else if (color[e[j]] == 0) {
						color[e[j]] = -1 * color[front];
						q.push(e[j]);
					}
				}

			}

		}
	}
	cout << "Yes" << endl;
}
/*
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*/
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/*
	思路差不多 但是那个 3-2 = 1 3-1 = 2确实惊艳到我了

*/
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010, M = 200010;

int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int color[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool dfs(int u, int c)
{
    color[u] = c;

    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!color[j])
        {
            if (!dfs(j, 3 - c)) return false;
        }
        else if (color[j] == c) return false;
    }

    return true;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);

    while (m -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b), add(b, a);
    }

    bool flag = true;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (!color[i])
        {
            if (!dfs(i, 1))
            {
                flag = false;
                break;
            }
        }

    if (flag) puts("Yes");
    else puts("No");

    return 0;
}

匈牙利算法（求二分图最大匹配）：

时间复杂度：O(nm)

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int n1, n2;     // n1表示第一个集合中的点数，n2表示第二个集合中的点数
int h[N], e[M], ne[M], idx;     // 邻接表存储所有边，匈牙利算法中只会用到从第一个集合指向第二个集合的边，所以这里只用存一个方向的边
int match[N];       // 存储第二个集合中的每个点当前匹配的第一个集合中的点是哪个
bool st[N];     // 表示第二个集合中的每个点是否已经被遍历过

bool find(int x)
{
    for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j])
        {
            st[j] = true;
            if (match[j] == 0 || find(match[j]))
            {
                match[j] = x;
                return true;
            }
        }
    }

    return false;
}

// 求最大匹配数，依次枚举第一个集合中的每个点能否匹配第二个集合中的点
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
{
    memset(st, false, sizeof st);
    if (find(i)) res ++ ;
}

二分图的最大匹配

定一个二分图，其中左半部包含 n1 个点（编号 1∼n1），右半部包含 n2 个点（编号 1∼n2），二分图共包含 m 条边。

数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。

请你求出二分图的最大匹配数。

二分图的匹配：给定一个二分图 G，在 G 的一个子图 M 中，M 的边集 {E} 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称 M 是一个匹配。

二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。

输入格式

第一行包含三个整数 n1、 n2 和 m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示左半部点集中的点 u 和右半部点集中的点 v 之间存在一条边。

输出格式

输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。

数据范围

1≤n1,n2≤500,
1≤u≤n1,
1≤v≤n2,
1≤m≤105

输入样例：
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输出样例：
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/*
遍历所有男生让该男生考虑所有心动女生如果当前女生单身，或者该女生的对象找了备胎，该女生就接受该男生
注：小心最后成为环形所有必须加一个标记
最坏时间复杂度 O(nm)，和其它最大流问题一样，实际比较快

*/


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M = 100100;
const int N = 510;
int f[N], ne[M], e[M], idx;
int match[M];//记录每一个n2的点对应的n1的点
int st[M]; //记录n2的点是否被记录过
void add(int a, int b) {
	e[++idx] = b;
	ne[idx] = f[a];
	f[a] = idx;
}
// 在当前的·情况下x是否能找到对应边
bool find(int x) {
	for (int i = f[x]; i; i = ne[i]) {
		int j = e[i];
//		对于当前次的查询j这个点是否被查询过，避免出现环形询问的问题
		if (!st[j]) {
			st[j] = true;
			// n1 匹配的 j点是否被匹配过或者 上一个匹配他的点
			// 能否匹配别的
			if (!match[j] || find(match[j])) {
				st[j] = true;
				match[j] = x;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;

}
int main() {
	int n1,n2,m;
	cin>>n1>>n2>>m;
	while(m--){
		int a,b;
		cin>>a>>b;add(a,b);
	}
	int ans = 0;
	for(int i=1;i<=n1;i++){
		memset(st,0,sizeof st);
		if (find(i)) ans++;
	}
	cout<<ans<<endl;
}
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#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, M = 100010;

int n1, n2, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int match[N];
bool st[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool find(int x)
{
    for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j])
        {
            st[j] = true;
            if (match[j] == 0 || find(match[j]))
            {
                match[j] = x;
                return true;
            }
        }
    }

    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);

    while (m -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
    }

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
    {
        memset(st, false, sizeof st);
        if (find(i)) res ++ ;
    }

    printf("%d\n", res);

    return 0;
}